两直线垂直斜率关系，两直线垂直斜率关系证明
问题探究：
直线y=-1/3 x+2与直线y=3x+2的位置关系是什么？
如何证明你的结论？请你试一试。
这两条直线呈垂直关系，同学们很容易发现。如何证明呢？大部分同学都陷入了迷茫和不知所措（他们陷在函数问题中无法自拔），部分孩子得到了灵感，开始奋笔疾书（他们跳脱了函数问题，将其转化为几何问题中如何求证两条直线垂直）。于是，我收集了孩子们的两种解题 *** ：1）勾股定理的逆定理；2）构造全等三角形。
这两条直线呈垂直关系，同学们很容易发现。如何证明呢？大部分同学都陷入了迷茫和不知所措（他们陷在函数问题中无法自拔），部分孩子得到了灵感，开始奋笔疾书（他们跳脱了函数问题，将其转化为几何问题中如何求证两条直线垂直）。于是，我收集了孩子们的两种解题 *** ：
1） 勾股定理的逆定理
如图所示：
解析：在直线y=3x+2上取点B(1,5), 在直线y=-1/3 x+2 取点D(3,1),连接BD,构造△BED, 而E(0,2),则由两点间距离公式，可得
显然有BE²+DE²=BD²,∠DBE=90°, 所以BE⊥DE,所以两直线垂直。
2） 构造全等三角形
如图所示：
解：过B作BF⊥y轴于点F，则有BF=1，EF=3,过D作DG⊥y轴于点G，则有EG=1，GD=3
显然有△GDE≌△FEB，∴∠EDG=∠BEF，
∵∠EDG+∠DEG=90°，∴∠BEF+∠DEG=90°，∴∠BED=90°，即有这两条直线互相垂直.
直线是可以平移的，所以任意两条不平行的直线都可以通过平移相交于与轴上同一点，即如图2所示，相交于点E。又两点确定一条直线，因此我们只需要将直线的旋转问题转化为另一个点的旋转问题即可。如图2中的点B（1,5）在直线y=3x+2上，将点B绕着点E顺时针旋转90°，得到点（3,1）。然后两条策略，一是将点（3,1）代入直线y=-1/3x+2中，看看等式是否成立，即检验此点是否在此直线上，我们发现是等式是成立的，即能说明直线y=3x+2与直线y=-1/3x+2是垂直的；而是利用待定系数法求出经过点（3,1）与点E的直线表达式，与直线y=-1/3x+2的表达式作比较，结果发现是一样的，也能说明这两条直线是互相垂直的。
利用我们探究这一结论，可以快速解决两直线垂直问题，尤其对于直角三角形存在性难题有种暴力解题味道，易于入手。
例1.已知：如图，二次函数y＝ax ²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．
【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可．
（2）先求出M、B、C的坐标，根据S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC即可解决问题．
（3）分三种情①C为直角顶点；②B为直角顶点；③N为直角顶点；分别求解即可．
【解答】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），则有：a-b+c=0,a+b+c=8,c=5，解得a=-1,b=4,c=5．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x ²+4x+5．
（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x ₁＝5，x ₂＝﹣1，∴B（5，0）．
由y＝﹣x ²+4x+5＝﹣（x﹣2）²+9，得顶点M（2，9）
如图1中，作ME⊥y轴于点E，
（3）存在．如图2中，
∵OC＝OB＝5，∴△BOC是等腰直角三角形，
①当C为直角顶点时，设x轴上一点N（x,0）,利用直线CN与直线BC的斜率之积为-1，有(5-0)/(0-x) ×(5-0)/(0-5)=-1, x=-5,即N₁（﹣5，0）．
②当B为直角顶点时，设y轴上一点N（0,y）,利用直线CB与直线BN的斜率之积为-1，有(0-5)/(5-0) ×(y-0)/(0-5)=-1, y=-5,即N₂（0，﹣5）．
③当N为直角顶点时，结合图形易知N₃（0，0）．
综上所述，满足条件的点N坐标为（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）．
例2（2019•永春县校级自主招生）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝a/x（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标．
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【解答】（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝a/x的图象上，
∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝6/x，
∵点A的纵坐标为4，点A在反比例函数y＝6/x图象上，
∴A（3/2，4），∴3k+b=2, 3/2k+b=4，∴k=-4/3,b=6，
∴一次函数的表达式为y＝﹣4/3x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），∴直线OB的解析式为y＝2/3x，
∴G（3/2，1），A（ 3/2，4），∴AG＝4﹣1＝3，
∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝1/2×3×3＝9/2．
（3）如图2中，①当∠AOE₁＝90°时，∵直线AC的解析式为y＝8/3x，
利用两直线垂直，斜率之积为-1，易得直线OE₁的为-3/8，∴直线OE₁的解析式为y＝﹣3/8x，
当y＝2时，x＝﹣16/3，∴E1（﹣16/3，2）．
②同理，当∠OAE₂＝90°时，可得直线AE₂的解析式为y＝﹣3/8x+73/16，
当y＝2时，x＝41/6，∴E₂（41/6，2）．
例3．（2018秋•宜兴市期末）如图，二次函数y＝ax²﹣2ax+c的图象交x轴于A、B两点（其中点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，且OB＝3OA，点D在该函数的第一象限内的图象上．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若△BDC的最大面积为27/4平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；
（3）若点D为该函数图象的顶点，且△BDC是直角三角形，求此二次函数的关系式．
【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣b/2a＝1，OB＝3OA，即可求解；
（2）由S△BDC＝1/2•DE•OB，即可求解；
（3）分∠DCB＝90°和∠CDB＝90°两种情况，求解即可．
【解答】（1）函数的对称轴为：x＝﹣b/2a＝1，OB＝3OA，
∴点A、B的坐标为（﹣1，0）、（3，0）；
（2）二次函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x²﹣2x﹣3），即：c＝﹣3a，
把点B、C坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：3k+b=0,b=-3a，
则一次函数表达式为：y＝ax﹣3a，
过点D作x轴的平行线交BC于E点，
设点D的坐标为（x，ax²﹣2ax﹣3a），则点E的坐标为（x，ax﹣3a），
S△BDC＝1/2•DE•OB＝3/2（ax²﹣2ax﹣3a﹣ax+3a）＝3a/2（x²﹣3x），
∵3a/2＜0，故S△BDC有最大值，
当x＝﹣b/2a＝3/2时，最大值为﹣27a/8＝27/4，
解得：a＝﹣2，点D的坐标为（3/2，15/2），
故：二次函数表达式为：y＝﹣2x²+4x+6；
（3）点B、C、D的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3a）（1，﹣4a），
牛刀小试:1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝3x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y＝ax²+5ax+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为点B
（1）求抛物线的解析式
（2）点P为第三象限抛物线上一点，连接AP交y轴于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，设点P的横坐标为m，连接CP，△ACP的面积为S，求S与m的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，点M为BF上一点，且MF＝OE，连接CM、BE，相交于点K，连接FK，若∠OBE＝∠KFP，求点P的坐标．
【解析】（1）首先求出A、C；的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
y＝1/2x ²+5/2x﹣3
（2）设P（m，1/2m ²+5/2m﹣3），则F（m.0），由OE∥PF，可得OE/PF=AO/AF，求出点E坐标，再根据S△PAC＝S△AEC+S△PEC=﹣1/4m²﹣1/4m（﹣6＜m＜0）．
*** 总结:
